「申し上げます」とは「いわせていただく」

「申し上げます」とは「言わせていただきます」の意味です。
たとえば、「お礼を申し上げます」は「お礼を言わせていただきます」という意味になります。

「申し上げます」は「申す」、「上げる」、「ます」の3つの構造でできています。

「申す」は「言う」の謙譲語(=自分の行為をへりくだる表現)です。「上げる」はそれを補助するための動詞で、へりくだった表現をより強調させる役割があります。意味としては「させていただく」が近いです。
「ます」は一般的な会話でもよく使用される、丁寧語です。

「申しあげます」は「させていただく」という形でもつかわれる

文章によっては「申し上げます」を「言う」以外の意味で捉えるケースもあります。
たとえば「お祈り申し上げます」という文の場合です。

ここで「申す」を「言う」と捉えると「お祈りを言わせていただきます」となりますが、これでは「お祈り“する”」という元の文本来の意味と比べても、「を」をつけなければならない点からも少し違和感があります。
そのため、ここでは「申しあげる」を動詞の「する」と捉えて「お祈りさせていただきます」と解釈するのが適切です。
また類語としては、「致(いた)します」があり、これもほぼ同じ意味で使えます。たとえば「お祈り申し上げます」は「お祈り致します」と言い換えることができます。

「申しあげます」の例文

実際のビジネスシーンでは、次のような場面で使われます。

○お礼を伝えるとき
例:貴社の温かいご配慮に対し心より御礼申しあげます。
○お詫びを伝えるとき
例:皆様に多大なるご迷惑をおかけしたことを深くお詫び申しあげます。
○連絡やお知らせをするとき
例:ようやく日程が決まりましたことをご連絡(お知らせ)申しあげます。
○挨拶をするとき
例:謹啓 春暖の候、貴社益々のご盛栄のこととお慶び申しあげます。

これらも動作の対象が送り手(自分)となる表現であるため、「致します」ではなく「申し上げます」がより適切となります。

間違った使い方 おっしゃるとの使い分け

「申し上げる」を使う上でもっとも気を付けなければならないのが、「おっしゃる」との使い分けです。

例えば次のような間違いはよくありがちなので注意が必要です。

○その件に関しては、先日課長が申しあげていました。
○部長が申しあげる通りです。
○私でよければいつでも申しあげてください。

ここでは、「言う」の尊敬語である「おっしゃる」を使うのが正しい表現です。
言い換えると次のようになります。

○その件に関しては、先日課長がおっしゃっていました。
○部長がおっしゃる通りです。
○私でよければいつでもおっしゃってください。

もし「申す」を使いたいのであれば、「課長が申しておりました」や「いつでもお申し付けください」と表現します。
この場合、「上げる」を除いて使用する点に留意しましょう。

まとめ

「申し上げます」は自分が謙遜し、へりくだるときに使う表現です。「言わせていただく」だけでなく、動詞「する」の意味で「させていただく」と捉える場合があることも覚えておきましょう。
さらに「おっしゃる」との使い分けに注意して使うことができれば、「申しあげます」はほぼ完ぺきに使いこなせるでしょう。